符號(hào)函數(shù)有哪些圖像和性質(zhì)

符號(hào)函數(shù)是一種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)函數(shù)，它將任意實(shí)數(shù)映射到其符號(hào)上，即將正數(shù)映射為1，將負(fù)數(shù)映射為-1，將0映射為0。本文將介紹符號(hào)函數(shù)的圖像和性質(zhì)。

一、符號(hào)函數(shù)的圖像

符號(hào)函數(shù)的圖像可以用如下函數(shù)表示：

$$

sgn(x)=

\begin

1, & x>0 \\

0, & x=0 \\

-1, & x<0 \\

\end

$$

http://www.ebankmanager.com/common/images/14441007758822508.jpg

圖像如下：


從圖像可以看出，符號(hào)函數(shù)的圖像是一條垂直于x軸的線段，且在x=0處有一個(gè)間斷點(diǎn)。

二、符號(hào)函數(shù)的性質(zhì)

1. 符號(hào)函數(shù)是奇函數(shù)

由于符號(hào)函數(shù)的定義只與x的正負(fù)有關(guān)，因此有如下性質(zhì)：

$$

sgn(-x)=-sgn(x)

$$

即符號(hào)函數(shù)是奇函數(shù)。

2. 符號(hào)函數(shù)是符號(hào)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

當(dāng)x≠0時(shí)，符號(hào)函數(shù)是不可導(dǎo)的，但在x=0處，符號(hào)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為Dirac Delta函數(shù)的一種表示：

$$

\fracsgn(x)=2\delta(x)

$$

其中，$\delta(x)$為Dirac Delta函數(shù)，滿足：

$$

\int_^\delta(x)f(x)dx=f(0)

$$

即Dirac Delta函數(shù)在x=0處的值為無(wú)窮大，但在其他地方都為0，且對(duì)于任意可積函數(shù)f(x)，其積分在x=0處等于f(0)。

3. 符號(hào)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)的極限

對(duì)于任意連續(xù)函數(shù)f(x)，符號(hào)函數(shù)可以表示為：

$$

sgn(x)=\lim_ \frac

$$

這個(gè)式子意味著，符號(hào)函數(shù)可以看作是連續(xù)函數(shù)在x=0處的左右導(dǎo)數(shù)之平均值。

綜上，符號(hào)函數(shù)是一種簡(jiǎn)單但重要的數(shù)學(xué)函數(shù)，其圖像是一條垂直于x軸的線段，且具有奇函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和連續(xù)函數(shù)極限等性質(zhì)。